$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$\tan A = \frac{a}{b}$$ $$a = b \tan A$$

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

$$\text{(1)} \quad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$ $$\text{(2)} \quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

$$\text{３角形の３つの内角の二等分線は１点で交わる。}$$

$$m, n \ \text{が整数のとき}$$ $$a^0 = 1, \quad a^1 = a, \quad a^m \times a^n = a^{m+n}$$

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ $$(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$$ $$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^2 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$$ $$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$$

$$\text{２次方程式} \ ax^2 + bx + c = 0 \ \text{の解は}$$ $$D > 0 \iff \text{異なる２つの実数解をもつ}$$ $$D = 0 \iff \text{１つの実数解（重解）をもつ}$$ $$D < 0 \iff \text{実数解をもたない}$$

$$a \ge 0 \ \text{のとき} \quad |a| = a$$ $$a \lt 0 \ \text{のとき} \quad |a| = -a$$

$$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$$

$$a > 0, b > 0 \ \text{のとき}$$ $$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$$ $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

$$a, b \ \text{を実数とすると、}|a| \ge 0, |a| = 0$$ $$\text{となるのは} \ a = 0 \ \text{のときにかぎる。}$$ $$|-a| = |a|$$ $$|a|^2 = a^2$$ $$|ab| = |a||b|$$ $$|\frac{a}{b}| = |\frac{a}{b}| \quad \text{ただし,} \ b \ne 0$$

$$a < b \implies a + c < b + c, \quad a -c < b -c$$ $$a < b, c > 0 \implies ac < bc, \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$ $$a < b, c < 0 \implies ac > bc, \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$ $$\implies \ \text{は "ならば" の意味}$$

$$2次方程式ax^2 + bx + c + 0が2つの解$$ $$\alpha、\betaをもつとき、$$ $$a > 0、\alpha > \betaならば$$ $$ax^2 + bx + c > 0の解はx < \alpha、\beta < x$$ $$ax^2 + bx + c < 0の解は\alpha < x < \beta$$

$$\text{２次方程式} \ ax^2 + bx + c = 0 \ \text{の解は}$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$$

$$|x| = a \iff x = \pm a$$ $$|x| < a \iff -a < x < a$$ $$|x| > a \iff x < -a \ \text{または} \ a < x$$

$$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ $$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$ $$\text{ただし,} \ a > b \ \text{とする。}$$

$$２次関数y = ax^2 + bx + c$$ $$のグラフとx軸の共有点のx座標は、$$ $$２次方程式$$ $$ax^2 + bx + c = 0$$ $$の実数解である。$$

$$\sin A = \frac{a}{c}, \cos A = \frac{b}{c}$$ $$a = c \sin A, b = c \cos A$$

$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$ $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$$

$$\sin(90° - A) = \cos A$$ $$\cos(90° - A) = \sin A$$ $$\tan(90° - A) = \frac{1}{\tan A}$$

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$ $$Rは\triangle ABCの外接円の半径$$

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc{\cos A}$$ $$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca{\cos B}$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab{\cos C}$$

$$\text{相似な平面図形で、対応する部分の長さが}$$ $$k \text{倍ならば、面積は}k^2 \text{倍である。}$$ $$\text{また、相似比が}m : n \text{ならば、面積比は}$$ $$m^2 : n^2 \text{である。}$$

$$\text{相似な立体で、対応する部分の長さが}$$ $$k \text{倍ならば、表面積は}k^2 \text{倍である。}$$ $$\text{また、相似比が}m : n \text{ならば、表面積の比は}$$ $$m^2 : n^2 \text{である。}$$

$$\text{半径}r \text{の体積}V \text{は}$$ $$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

$$F(n+1) = r \cdot F(n)\ \text{ならば}$$ $$F(n+1) = F(1) \cdot r^{n-1} \ \text{と変形できる。}$$

$$y = a(x -p)^2 + qのグラフは、$$ $$y = ax^2のグラフを$$ $$x軸の方向にp、y軸の方向にq$$ $$だけ平行移動した放物線である。$$ $$軸は直線y = p、頂点は点(p, q)$$

$$\text{(1)} \quad n(A \cup B) = n(A)+n(B) - n(A \cap B)$$ $$\text{とくに、}$$ $$A \cap B = \phi\text{のとき}n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$ $$\text{(2)} \quad n(\overline{A}) = n(U)-n(A)$$

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$ $$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$ $$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$$ $$acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \quadただし、\frac{dy}{dx} \neq 0$$

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C)$$ $$\quad \quad \quad - n(A \cap B) - n(B \cap C) - (C \cap A) +$$ $$n(A \cap B \cap C) \cdot \cdot \cdot \text{1}$$

$$n(A \cup (B \cup C)) = n(A) + n(B \cup C)$$ $$- n(A \cap (B \cup C)) \cdot \cdot \cdot \text{2}$$ $$\text{ここで分配法則} A \cap (B \cup C) =$$ $$(A \cap B) \cap (A \cap C) \text{により}$$ $$n(A \cap (B \cup C)) = n((A \cap B) \cup (A \cap C))$$ $$\quad \quad = n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C) \cdot \cdot \cdot \text{3}$$ $$\text{また} \quad n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C) \cdot \cdot \cdot \text{4}$$

$$\sin(180° - \theta) = \sin \theta$$ $$\cos(180° - \theta) = - \cos \theta$$ $$\tan(180° - \theta) = - \tan \theta$$

$${}_n P_r = n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-r+1)$$ $${}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$n\text{個のものの円順列の総数は} \quad (n-1)!$$

$$n \text{個のものから} r \text{個とった重複順列の総数は} \quad n^r$$

$${}_n C_p \times {}_{n-p} C_q \times {}_{n-p-q} C_r = \frac{n!}{p!q!r!}$$ $$\text{ただし、} p + q + r = n$$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(C)$$

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

$$\text{三角形の３本の中線は１点で交わる。}$$ $$\text{その交点は、それぞれの中線を2:1に内分する。}$$

$$\text{三角形の３辺の垂直二等分線は１点で交わる。}$$

$$\text{三角形の各頂点から対辺、またはその延長に下ろした}$$ $${３本の垂線は１点で交わる。}$$

$$\text{２つの事柄} A,B \text{について、} A \text{の起こり方が}$$ $$m \text{通りあり、}$$ $$\text{そのおのおのに対して} B \text{の起こり方が}$$ $$n \text{通りあるとき、}$$ $$A,B\text{がともに起こる場合の数は}$$ $$m \times n \text{通りである。}$$

$${}_n C_r = \frac{nPr}{r!}$$ $$= \frac{n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-r+1)}{r(r-1)(r-2) \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$ $$\quad \quad = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ $$\quad \quad = {}_n C_{n-r}$$

$$(a+b)^n$$ $$= {}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2 + \cdot \cdot \cdot$$ $$+ {}_n C_r a^{n-r}b^r + \cdot \cdot \cdot + {}_n C_{n-1}ab^{n-1} + {}_n C_n b^n$$

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}$$ $$= \frac{a}{N} = \frac{\text{事象}A\text{の起こる場合の数}}{\text{起こり得るすべての場合の数}}$$

$$\text{２つの試行} T_1, T_2 \text{が独立であるとき、}$$ $$T_1 \text{で事象} A \text{が起こり、}$$ $$T_2 \text{で事象} B \text{が起こる確率は}$$ $$P(A) \times P(B)$$

$$\text{命題}p \implies q \text{と、その対偶} \overline{q} \implies \overline{p} \text{とは、}$$ $${真偽が一致する。}$$

$$\text{ある試行において、事象} A \text{が起こる確率を} p \text{、}$$ $$\text{その余事象の確率を} q = 1 - p \text{とする。}$$ $$\text{この試行を} n \text{回繰り返す反復試行において、}$$ $$\text{事象} A \text{がちょうど} r \text{回起こる確率は}$$ $${}_n C_r p^r q^{n-r} \quad r = (0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$$ $$\text{である。ただし、} p^0 = 1, q^0 = 1 \text{とする。}$$

$$\text{半径}r \text{球の表面積}S \text{は}$$ $$S = 4 \pi r^2$$

$$\triangle \text{ABCの頂点Aにおける外角の二等分線と対辺BCの}$$ $$\text{延長との交点をQとすると、QはBCをAB:ACに}$$ $$\text{外分する。すなわち}$$ $$BQ:QC=AB:AC$$

$$\triangle \text{ABCの} \angle \text{Aの二等分線と対辺BCとの交点をP}$$ $$\text{とすると、PはBCを}AB:AC \text{に内分する。}$$ $$\text{すなわち}$$ $$BP:PC = AB:AC$$

$$\triangle \text{ABCにおいて、辺BCをAB:ACに内分および}$$ $$\text{外分する点をそれぞれP,Qとすると}$$ $$\text{(1) APは頂点Aにおける内角を２等分する。}$$ $$\text{(1) AQは頂点Aにおける外角を２等分する。}$$

$$S = \sqrt{s((s - a)(s - b)(s - c)}$$ $$\text{ただし、}s = \frac{a + b + c}{2}$$

$$\text{円に内接し、４辺の長さが}a, b, c, d \text{の四角形の面積}S \text{は}$$ $$S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}$$ $$\text{ただし、}s = \frac{a + b + c + d}{2}$$ $$$$

$$\triangle \text{ABCの辺AB,ACの中点をそれぞれ}$$ $$\text{M,Nとするとき}$$ $$MN \parallel BC, MN = \frac{1}{2}BC$$

$$\triangle \text{ABCの辺AB,AC上に、それぞれ点}$$ $$\text{D,Eがあるとき}$$ $$DE \parallel BC \text{ならば}$$ $$AD:AB = AE:AC = DE:BC$$ $$AD:DB = AE:EC$$ $$AD:AB = AE:AC \text{ならば} DE \parallel BC$$ $$AD:DB = AE:EC \text{ならば} DE \parallel BC$$

$$\text{次の(1),(2)のいずれかが成り立つ四角形は円に}$$ $$\text{内接する。}$$ $$\text{(1) １組の対角の和が} 180^\circ \text{である。}$$ $$\text{(2) １つの外角が、それと隣り合う内角の対角に}$$ $$\text{等しい。} $$

$$\text{(1)} \quad \text{任意の事象} A \text{に対して} \quad 0 \le P(A) \le 1$$ $$\text{(2)} \quad \text{全事象} U \text{の確率} \quad \quad \quad P(U) = 1$$ $$\text{(3)} \quad \text{空事象} \phiの\text{確率} \quad \quad \quad P(\phi) = 0$$ $$\text{(4)} \quad A, B\text{が排反事象のとき}$$ $$\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

$$\text{１つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、}$$ $$\text{その弧に対する中心角の半分である。}$$ $$\text{１つの円で、等しい円周角に対する弧は等しい。}$$ $$\text{１つの円で、等しい弧に対する円周角は等しい。}$$

$$\text{三角形において}$$ $$\text{(1) ２辺の長さの和は、他の１辺の長さより大きい。}$$ $$\text{(2) ２辺の長さの差は、他の１辺の長さより小さい。}$$

$$\text{２点A,Bに対して、} \angle APB = 90^\circ \text{となる点Pは、}$$ $$\text{ABを直径とする円周上にある。}$$

$$\text{円に内接する４角形では}$$ $$\text{(1) 対角の和は} 180^\circ \text{である。}$$ $$\text{(2) 対角は、それと隣り合う内角の対角に等しい。}$$

$$\text{円の接線とその接点を通る弦のつくる角は、}$$ $$\text{その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。}$$

$$\text{２つの事柄} A,B \text{について、これらは同時には}$$ $${起こらないとする。}$$ $$A \text{の起こり方が} m \text{通り、} B \text{の起こり方が}$$ $$n \text{通りあるとき、}$$ $$A \text{または} B \text{の起こる場合の数は}$$ $$m+n \text{通りである。}$$

$$\text{(1) 1つの円で、等しい中心角に対する弧は等しい。}$$ $$\text{その逆も成り立つ。}$$ $$\text{(2) 1つの円で、等しい弧に対する弦は等しい。}$$ $$\text{(3) 円の中心から弦に引いた垂線は、}$$ $$\text{その弦を2等分する。}$$ $$\text{(4) 弦の垂直二等分線は、円の中心を通る。}$$

$$\text{点Pを通る２直線の一方が円Oと２点ABで交わり、}$$ $$\text{もう一方が点Tで接するとき}$$ $$PT^2 = PA \cdot PB$$

$$\text{円の外部の1点からその円に引いた２本の接線に}$$ $$\text{おいて、}$$ $$その点から２つの接点までの距離は等しい。$$

$$\text{４点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABに対して}$$ $${同じ側にあって}$$ $$\angle APB = \angle AQB$$ $$\text{ならば、この４点は同一円周上にある。}$$

$$\text{ある直線が} \triangle \text{ABCの辺BC,CA,AB、または}$$ $$\text{その延長とそれぞれ点P,Q,Rで交われば}$$ $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$

$$\text{三角形において、長い辺に対する角は、}$$ $$\text{短い辺に対する角より大きい。}$$

$$\text{三角形において、大きい角に対する辺は、}$$ $$\text{小さい角に対する辺より長い。}$$

$$\text{線分ABを直径とする円周上にA,Bとは異なる}$$ $$\text{点Pをとると}$$ $$\angle ABP = 90^\circ$$

$$a\text{を実数とすると}$$ $$\sqrt{a^2} = |a|$$

$$\text{点Pを通る２直線が円Oとそれぞれ２点}A, B$$ $${と２点C,Dで交わるとき}$$ $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

$$\text{２つの線分AB,CDまたはその延長の交点を}$$ $${Pとするとき}$$ $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$ $$\text{ならば、４点A,B,C,Dは同一円周上にある。}$$

$$\triangle \text{ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rが}$$ $${\textあり、３直線AP,BQ,CRが１点で交われば}$$ $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$ $$\text{が成り立てば、３直線AP,BQ,CRは１点で交わる。}$$

$$a, b, c, d \text{が実数であるとき}$$ $$a + bi = c + di \iff a = c \text{かつ}b = d$$ $$\text{とくに}$$ $$a + bi = 0 \iff a = 0 \text{かつ}b = 0$$

$$\text{相似な立体で、対応する部分の長さが}$$ $$k \text{倍ならば、体積は}k^3 \text{倍である。}$$ $$\text{また、相似比が}m : n \text{ならば、体積比は}$$ $$m^3 : n^3 \text{である。}$$

$$A = BQ + R$$ $$R \text{の次数} < B \text{の次数}$$

$$a > 0のとき\sqrt{-a} = \sqrt{a}iとくに\sqrt{-1} = i$$ $$-aの平方根は\sqrt{a}i, -\sqrt{a}iすなわち$$ $$\sqrt{-a}, -\sqrt{-a}$$

$$\text{初項}a\text{, 公差}d\text{, 項数}n\text{, 末項}l\text{の等差数列の和を}$$ $$S_n\text{とすると}$$ $$S_n = \frac{1}{2}n(a + l) = \frac{1}{2}n\{2a + (n - 1)d)\}$$

$$２次方程式の判別式Dと解について、$$ $$次のことが成り立つ。$$ $$（１） D> 0 \iff \text{異なる２つの実数解を持つ}$$ $$（２）D = 0 \iff \text{重解を持つ}$$ $$（３）D < 0 \iff \text{異なる２つの虚数解を持つ}$$

$$A > 0, B > 0\text{のとき}$$ $$A \geqq B \iff A^2 \geqq B^2$$

$$\text{２次方程式}ax^2 + bx + c = 0\text{の２つの解を}$$ $$\alpha, \beta \text{とすると}$$ $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$

$$\alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = -\frac{b}{a}$$ $$\alpha \times \beta = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{b^2 -D}{4a^2}$$ $$ \qquad \quad = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

$$\text{２次方程式}ax^2 + bx + c = 0 \text{の２つ解を}$$ $$\alpha, \beta \text{とすれば}$$ $$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$$

$$２数\alpha, \betaを解とする２次方程式の１つは、$$ $$\alpha + \beta = p, \alpha \beta = q$$ $$\text{とすると、次のように表される}$$ $$x^2 - px + q = 0$$

$$\sum_{k=1}^n c = nc \quad \text{cは定数}$$ $$\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n + 1)$$ $$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$$ $$\sum_{k=1}^n k^3 = \{\frac{1}{2}n(n + 1)\}^2$$

$$２次方程式ax^2 + bx = c = 0の判別式を$$ $$D、２つの解を\alpha, \betaとする。$$ $$D \geqqのとき次のことが成り立つ。$$ $$（１）\alpha, \betaがともに正 \ \iff \ \alpha + \beta > 0, \alpha \beta > 0$$ $$（２）\alpha, \betaがともに負 \ \iff \ \alpha + \beta < 0, \alpha \beta > 0$$ $$（３）\alpha, \betaが異符号 \ \iff \ \alpha \beta < 0$$

$$\text{整式}P(x)\text{を}x - \alpha\text{で割ったときの余りは}P(\alpha)である。$$

$$\text{整式}P(x)がx - \alpha\text{を因数に持つ} \iff P(\alpha) = 0$$

$$P(x) = Q(x)がxについての恒等式である$$ $$\iff P(x), Q(x)の同じ次数の項の係数が一致する$$

$$a > b \text{であるとき}$$ $$（１）a + b > b + c, \quad a - c > b - c$$ $$（２）c > 0 \text{ならば} \quad ac > bc, \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$ $$（３）c < 0 \text{ならば} \quad ac < bc, \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$

$$\text{実数aに対し}\quad a^2 \geqq 0$$ $$\text{とくに} \quad a^2 = 0 \iff a = 0$$

$$\text{a > 0, b > 0のとき} \quad \frac{a + b}{2} \geqq \sqrt{ab}$$ $$\text{等号が成り立つのは、a = bのときである。}$$

$$\text{３点}A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\text{を頂点とする}$$ $$\triangle ABC\text{の重心}G\text{の座標は}$$ $$(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$$

$$\text{２点}A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\text{間の距離は}$$ $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ $$\text{とくに, 原点}O\text{と}P(x, y)\text{の距離は}$$ $$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$$

$$\text{点}(a, b)\text{を中心とする半径}r\text{の円の方程式は}$$ $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ $$\text{とくに原点を中心とする半径}r\text{の円の方程式は}$$ $$x^2 + y^2 = r^2$$

$$\text{３次方程式}ax^3 + bx^2 + cx + d= 0$$ $$\text{の３つの解を}\alpha, \beta, \gamma \text{とすると}$$ $$\alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a}$$ $$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$$ $$\alpha\beta\gamma = - \frac{d}{a}$$

$$\text{点}(x_1, y_1)\text{を通り, 傾き}m\text{の直線の方程式は}$$ $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

$$\text{２点}(x_1, y_1), (x_2, y_2)\text{を通る直線の方程式は}$$ $$x_1 \ne x_2\text{のとき} \quad y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$ $$x_1 = x_2\text{のとき} \quad x = x_1$$

$$\text{２直線} y = mx + n, y = m'x + n'\text{について}$$ $$\text{平行条件は} \ m = m' \quad \text{垂直条件は} \ mm' = -1$$

$$\text{点と}（x_1, y_1）\text{と直線}ax + bx + c = 0\text{の距離}d\text{は}$$ $$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

$$D > 0 \iff \text{円と直線の共有点は２個}$$ $$D = 0 \iff \text{円と直線の共有点は１個}$$ $$D < 0 \iff \text{円と直線の共有点はない}$$

$$\text{円} \ x^2 + y^2 = r^2 \ \text{の周上の点}$$ $$P(x_1, y_1)\text{における接線の方程式は}$$ $$x_1x + y_1y = r^2$$

$$\text{直線} \ y = mx + n \ \text{を}l\text{とすれば}$$ $$y > mx + n \ \text{の表す領域は} \quad \text{直線}l\text{の上側}$$ $$y < mx + n \ \text{の表す領域は} \quad \text{直線}l\text{の下側}$$

$$\text{２直線}y = mx + n, y = m'x + n'\text{について}$$ $$\text{並行条件は}m = m'$$ $$\text{垂直条件は}mm' = -1$$

$$a_1 = a, \ a_{n+1} = r \cdot a_n \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$\text{一般項}\ a_n = a \cdot r^{n-1} \quad (n = 1, 2, 3, ...)$$

$$\sin \theta = \frac{y}{r}$$ $$\cos \theta = \frac{x}{r}$$ $$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

$$\text{２点}A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\text{を結ぶ線分}AB\text{を}$$ $$m : n\text{に内分する点の座標は}$$ $$(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n})$$ $$m : n\text{に外分する点の座標は}$$ $$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m - n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m - n})$$ $$\text{とくに, 線分}AB\text{の中点の座標は}$$ $$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$$

$$\text{円} \ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \ \text{を}C\text{とすれば}$$ $$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2 \ \text{の表す領域は} \quad \text{円}C\text{の内部}$$ $$(x - a)^2 + (y - b)^2 > r^2 \ \text{の表す領域は} \quad \text{円}C\text{の外部}$$

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$\tan \theta = {\sin \theta \over \cos \theta}$$ $$1 + \tan^2 \theta = {1 \over \cos^2 \theta}$$

$$\sin(\theta + 2n \pi) = \sin \theta$$ $$\cos(\theta + 2n \pi) = \cos \theta$$ $$\tan(\theta + 2n \pi) = \tan \theta$$

$$\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta$$ $$\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta$$ $$\tan(\theta + \pi) = \tan \theta$$

$$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$$ $$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$$ $$\tan(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\tan \theta}$$

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta$$ $$\cos(-\theta) = \cos \theta$$ $$\tan(-\theta) = -\tan \theta$$

$$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$$ $$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$$ $$\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$$

$$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

$$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos2\alpha}{2}$$ $$\quad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}$$

$$\sin2 \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$ $$\cos2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$ $$= 2\cos^2 \alpha - 1$$ $$\tan2 \alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - tan^2 \alpha}$$

$$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$$ $$\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$ $$\tan3\alpha = \frac{3\tan\alpha - \tan^3\alpha}{1 - 3tan^2\alpha}$$

$$a\sin \theta + b\cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$$ $$\text{ただし}$$ $$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ $$\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$$ $$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\}$$ $$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\}$$ $$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\}$$

$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}$$ $$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}$$ $$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}$$ $$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}$$

$$\text{数列}\{a_n\}\text{の階差数列を}\{b_n\}\text{とすると, }n \geq 2\text{のとき}$$ $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

$$a \neq 0で、nが正の整数のとき$$ $$a^0 = 1, a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$a \neq 0, b \neq 0\text{で}, m, n \ \text{が整数のとき}$$ $$a^0 = 1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad a^{-1} = \frac{1}{a^n}$$ $$a^ma^n = a^{m+n} \quad \quad \quad a^m \div a^n = a^{m - n}$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^nb^n \quad \quad \quad (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$

$$a \gt 0, b \lt 0 \ \text{で}, m, n, p \ \text{が正の整数のとき}$$ $$\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \quad \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$ $$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \quad \quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$$ $$\sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m}$$

$$a \gt 0\ \text{で}, m \ \text{が整数,} \ n \ \text{が正の整数のとき}$$ $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

$$a > 0, \ b > 0 \ \text{で,}\ p, q \ \text{が有理数のとき}$$ $$a^pa^q = a^{p+q} \quad \quad a^p \div a^q = a^{p-q}$$ $$(a^p)^q = a^{pq}$$ $$(ab)^p = a^pb^p \quad \quad (\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$$

$$a_1 = a, \ a_{n+1} = a_n + d \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$\text{一般項}\ a_n = a + (n - 1)d \quad (n = 1, 2, 3, ...)$$

$$a_1 = a, \ a_{n+1} - a_n = b_n \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$n \ge 2\ \text{で,}\ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n - 1}b_k$$

$$a_1 = a, \ a_{n+1} - a_n = b_n \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$n \ge 2\ \text{で,}\ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n - 1}b_k$$

$$\text{定義域は実数全体、地域は正の実数全体である。}$$ $$\text{グラフは点} (0, 1) \text{を通り}、x\text{軸がグラフの漸近線になる。}$$ $$\text{関数の増加、減少については}$$ $$a > 1 \text{のとき、}$$ $$x \text{の値が増加すると}y \text{の値も増加する。}$$ $$\text{すなわち} \quad p < q \iff a^p < a^q$$ $$ 0 < a < 1 \text{のとき、}$$ $$x \text{の値が増加すると}y \text{の値は減少する。}$$ $$\text{すなわち} \quad p < q \iff a^p > a^q$$

$$a > 0, a \ne 1, M > 0 \ \text{のとき}$$ $$\log_a M = p \iff a^p = M$$

$$a > 0, a \ne 1, M > 0, N > 0 \ \text{のとき}$$ $$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$$ $$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$$ $$\log_a M^r = r\log_a M$$

$$\log_a \frac{1}{N} = - \log_a N$$ $$\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{M} \log_a M$$

$$a, b, c \ \text{が正の数で,} \ a \ne 1, c \ne 1 \ \text{のとき}$$ $$\log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$$

$$\text{定義域は正の実数全体, 値域は実数全体である。}$$ $$\text{グラフは点(1, 0)を通り,} \ y \text{軸がグラフの漸近線になる。}$$ $$a > 1 \ \text{のとき,} \ y = \log_a x \ \text{は増加関数である。}$$ $$\text{すなわち} \quad 0 < p < q \iff \log_a p < \log_a q$$ $$0 < a < 1 \ \text{のとき,} \ y = \log_a x \ \text{は減少関数である。}$$ $$\text{すなわち} \quad 0 < p < q \iff \log_a p > \log_a q$$

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{\varDelta x \to 0} \frac{\varDelta y}{\varDelta x} = \lim_{\varDelta x \to 0} \frac{f(x + \varDelta x) - f(x)}{\varDelta x}$$

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

$$c\text{が定数で,} \quad y = c \ \text{ならば} \quad y' = 0$$ $$k\text{が定数で,} \quad y = kf(x) \ \text{ならば} \quad y' = kf'(x)$$ $$y = f(x) + g(x) \ \text{ならば} \quad y' = f'(x) + g'(x)$$ $$y = f(x) - g(x) \ \text{ならば} \quad y' = f'(x) - g'(x)$$

$$ある区間で$$ $$つねにf'(x) > 0ならば、$$ $$f(x)はその区間で増加する。$$ $$つねにf'(x) < 0ならば、$$ $$f(x)はその区間で減少する。$$

$$f'(a) = 0$$ $$となるx = aを堺にして$$ $$f'(x)が正から負に変われば、$$ $$f(a)は極大値$$ $$f'(x)が負から正に変われば、$$ $$f(a)は極小値$$

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)dt = f(x)$$

$$\text{曲線}y=f(x)\text{上の点}(a, f(a))$$ $$\text{における接線の方程式は}$$ $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

$$区間 a \leqq x \leqq b において、f(x) \geqq 0 であるとする。$$ $$曲線 y = f(x)とx軸および$$ $$２直線 x = a, x = bで囲まれた図形の面積Sは$$ $$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

$$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1} x^{n+1}+ C$$

$$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$$ $$$$ $$$$

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = [ \,F(x)] \,_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

$$\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$$ $$\int_{b}^{a}f(x)dx = - \int_{a}^{b}f(x)dx$$ $$\int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx$$

$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

$$初項a, 公差dの等差数列\{a_n\}の一般項は$$ $$a_n = a + (n - 1)d$$

$$nを自然数とするとき$$ $$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$$

$$\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$$ $$\int_{a}^{b} \{f(x) + g(x) \}dx = \int_{a}^{b}f(x) + \int_{a}^{b}g(x)$$ $$\int_{a}^{b} \{f(x) - g(x) \}dx = \int_{a}^{b}f(x) - \int_{a}^{b}g(x)$$

$$区間 a \leq x \leq b において$$ $$f(x) \geq g(x)であるとき、$$ $$２曲線 y = f(x), y = g(x)と$$ $$２直線 x = a, x = b で囲まれた図形の面積Sは$$ $$S = \int_{a}^{b} \{f(x) - g(x) \} dx$$

$$\text{初項}a\text{, 公比}r\text{の等比数列}\{a_n\}\text{の一般項は}$$ $$a_n = ar^{n-1}$$

$$\text{初項}a\text{, 公比}r\text{の等比数列の初項から第}n\text{項までの和}S_n\text{は}$$ $$r \ne 1 \text{のとき} \quad S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$ $$r = 1 \text{のとき} \quad S_n = na$$

$$\sum_{k=1}^n(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k$$ $$\sum_{k=1}^n ca_k = c \sum_{k=1}^n a_k$$

$$\text{数列}\{a_n\}\text{の初項から第}\{b_n\}\text{項の和を}S_n\text{とすると}$$ $$a_1 = S_1$$ $$a_n = S_n - S_{n-1}$$

$$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \quad\text{交換法則}$$ $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \quad\text{結合法則}$$ $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$ $$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$$

$$m(n\vec{a}) = (mn)\vec{a}$$ $$(m+n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a}$$ $$m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b}$$

$$\vec{a} \ne 0, \vec{b} \ne 0 \ \text{のとき}$$ $$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{b} = m\vec{a}\text{となる実数}m\text{がある}$$

$$自然数nに関する命題が、すべての自然数n$$ $$に対して成り立つことを証明するには、次の$$ $$２つのことを証明すればよい。$$ $$[1] n = 1のとき成り立つ。$$ $$[2] n = 1のとき成り立つと仮定すれば、$$ $$n = k+1のときにも成り立つ。$$

$$m\vec{a} + m\vec{b} = \vec{0}ならば、m = n = 0$$ $$平面上の任意のベクトルは、m\vec{a} + n\vec{b}$$ $$の形に表される。$$ $$しかも、この表し方はただ１通りである。$$

$$\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} \quad \text{基本ベクトルの表示}$$ $$\vec{a} = (a_1, a_2) \quad \text{成分表示}$$

$$\vec{a} = (a_1, a_2) \ \text{のとき} \quad |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}$$

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2)= (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ $$(a_1, a_2) - (b_1, b_2)= (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$$ $$m(a_1, a_2) = (ma_1, ma_2) \quad m\text{は実数}$$

$$A(a_1, a_2), B(b_1, b_2) \ \text{のとき}$$ $$\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)$$ $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$$

$$|m \vec{a}| = |m| |\vec{a}| \quad mは実数$$

$$\vec{a} = (a_1, a_2)\text{のとき}$$ $$\vec{a}\text{と同じ向きの単位ベクトル：}$$ $$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}(a_1, a_2)$$ $$\vec{a}\text{と反対向きの単位ベクトル：}$$ $$-\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = -\frac{1}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}}(a_1, a_2)$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$

$$\vec{a} \ne 0, \vec{b} \ne 0 \ \text{のとき}$$ $$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2, \quad |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$$

$$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \ \text{のとき}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$$

$$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \ \text{とおき、このベクトルのなす角を}\theta \ \text{とすると}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = OA \cdot OB \cos\theta$$ $$\text{余弦定理より}$$ $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cos\theta$$ $$OA \cdot OB \cos\theta = \frac{1}{2}(OA^2 + OB^2 - AB^2)$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}(OA^2 + OB^2 - AB^2)$$ $$= \frac{1}{2}[\,({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)\{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2\} ]\,$$

$$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}$$

$$(t\vec{a})\cdot\vec{b} = t(\vec{a}\cdot\vec{b}) = \vec{a}\cdot(t\vec{b}) \quad t\text{は実数}$$ $$\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$$ $$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$$

$$\vec{a} \ne 0, \vec{b} \ne 0, \vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)\text{において}$$ $$\vec{a} \perp \vec{b} \iff a_1b_1 + a_2b_2 = 0$$ $$\vec{a} \| \vec{b} \iff a_1b_2 - a_2b_1 = 0$$ $$\text{特に、}\vec{a} = (a_1, a_2)に$$ $$\text{垂直なベクトル：}s(a_2, -a_1)$$ $$\text{水平なベクトル：}t(a_1, a_2) \quad (s,t\text{は0でない実数})$$

$$\vec{a} = a_1 \vec{e_1} + a_2 \vec{e_2} + a_3 \vec{e_3} \quad 基本ベクトルによる表示$$ $$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad 成分表示$$

$$関数f(x)は\lim_{x \to a} = f(a)のとき、x = a$$ $$において連続である。$$

$$関数f(x)がx = aにおいて微分可能ならば、$$ $$f(x) x = aにおいて連続である。$$

無限級数 $$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$$ が収束するならば、 $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$

無限等比級数$$a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} + \dots$$ の収束、発散は以下のようになる。 $$\text{ただし}a \neq 0 \text{とする。}$$ $$1. \quad \vert r \vert \lt 1のとき収束して、その和は\frac{a}{1 - r}$$ $$2. \quad \vert r \vert \gt 1のとき発散する。$$

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$$

$$nが正の整数のとき \quad (x^n)' = nx^{n-1}$$

$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g(x)'$$

$$(c)' = 0$$ $$\{kf(x)\}' = kf'(x)$$ $$\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)$$ $$\{f(x) - g(x)\}' = f'(x) - g'(x)$$

$$\vec{p} = (1 - t)\vec{a} + t \vec{b}$$ $$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}, \quad s + t = 1$$

$$\vec{p} = \vec{p_0} + t \vec{u}$$

$$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)のとき \quad \vert \vec{a} \vert = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$$

$$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)のとき$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

$$$$

$$$$

$$$$

$$A + B = B + A$$交換法則 $$(A + B) = A + (B + C)$$結合法則 $$A + O = A$$ $$A + (-A) = O$$

双曲線$$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$$の漸近線は $$y = \frac{b}{a}x, y = - \frac{b}{a}x$$

$$(kl) = k(lA)$$ $$(k+l)A=kA+lA$$ $$k(A+B) = kA + kB$$

$$A(kB) = (kA)B = k(AB)$$ $$(AB)C = A(BC)$$結合法則 $$A(B+C) = AB + AC$$分配法則 $$(A + B)C = AC + BC$$

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ に対して、$$\Delta = ad - bc$$ とおく。 $$\Delta \neq 0$$ならば$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ $$\Delta = 0 $$ならばAの逆行列は存在しない。

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$のとき $$A^2 - (a+d)A + (ad -bc)E = 0$$

$$方程式f(x, y) = 0で表される図形Fを$$ $$x軸方向にm, y軸方向にnだけ平行移動した$$ $$図形Gの方程式はf(x-m, y-n) = 0$$

$$２つの事象AとBについて$$ $$AとBが独立である \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

$$区間(a, b)でつねにf'(x) > 0ならば、$$ $$f(x)は区間[a, b]で増加する。$$ $$区間(a, b)でつねにf'(x) < 0ならば、$$ $$f(x)は区間[a, b]で減少する。$$ $$区間(a, b)でつねにf'(x) = 0ならば、$$ $$f(x)は区間[a, b]で定数である。$$

$$(e^x)' = e^x$$ $$(a^x)' = a^x \log a$$

$$aが実数のとき \quad (x^a)' = ax^{a-1}$$

$$f''(x) > 0となる区間では、$$ $$曲線y = f(x)は下に凸$$ $$f''(x) < 0となる区間では、$$ $$曲線y = f(x)は上に凸$$

$$\int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt$$ $$ただし、x = g(t)$$

$$hが0に近いとき \quad f(a + h) \fallingdotseq f(a) + f'(a)h$$ $$xが0に近いとき \quad f(x) \fallingdotseq f(0) + f'(0)x$$

$$\int e^x dx = e^x + C$$ $$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$$ $$$$

$$\int_{a}^b f(x)g'(x)dx = $$ $$\left[f(x)g(x) \right]_{a}^b - \int_{a}^b f'(x)g(x)dx$$

$$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$$ $$ただし、g(x) = u$$

$$\int f(x)g'(x)dx =$$ $$\int f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$

$$\int_{a}^b f(x)dx= [F(x)]_{a}^b = F(b) - F(a)$$

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^x f(t)dt = f(x) \quad ただし、aは定数$$

$$曲線y = f(x)(a \leq x \leq b)の長さをsとすると$$ $$s = \int_{a}{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx = \int_{a}^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}dx$$ $$$$

$$V = \pi \int_{a}^b x^2 dy = \pi \int_{a}^b \{g(y)\}^2 dy$$ $$ただし、a < b$$

$$曲線y = f(x)上の点(a, f(a))における接線の方程式は$$ $$y - f(a) = f'(a)(x -a)$$

$$放物線y^2 = 4pxについては、次のようになる。$$ $$焦点は(p, 0), \quad 準線はx = -p$$ $$頂点は原点(0, 0), \quad軸はx軸(y = 0)$$

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$$

$$E(X) = x_1 P_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$

$$a, bを定数とするとき \quad E(aX + b) = aE(X) + b$$

$$V(X) = E((X - m)^2)$$

$$V(X) = E(X^2) - m^2$$

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

$$独立な確率変数X, Yに対して$$ $$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$$

$$独立な確率変数X, Yに対して$$ $$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$$

$$二項分布B(n, p)に従う確率変数をXとすると、$$ $$nが十分大きとき、Z = \frac{X - np}{\sqrt{npq}}$$ $$は標準正規分布N(0, 1)に従うとみなしてよい。$$ $$ただし、q = 1 - pとする。$$

$$P(X = r) = {}_n C_k \ p^r q^{n - r}$$ $$(r = 0, 1, 2, \cdots, n;q = 1 - p)$$

$$\text{数列} \lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace \text{がそれぞれ}$$ $$\alpha, \beta \text{に収束するとき}$$ $$a_n \leq b_n (n = 1,2,3 \dots)\text{ならば、} \alpha \leq \beta$$ $$$$ $$\text{数列} \lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace, \lbrace c_n \rbrace\text{において}$$ $$a_n \leq b_n \leq c_n (n = 1,2,3 \dots)$$ $$かつ\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}c_n = \alphaならば$$ $$\lbrace b_n \rbrace \text{も収束して、} \lim_{n \to \infty}b_n = \alpha$$

$$(\log x)' = \frac{1}{x}$$ $$(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}$$

$$関数f(x)が閉区間[a, b]で連続、開区間(a, b)で$$ $$微分可能ならば$$ $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c), \quad a \lt c \lt b$$ $$を満たす実数cが存在する。$$

$$1. \quad r \gt 1のとき\lim_{n \to \infty} = \infty$$ $$2. \quad r = 1のとき\lim_{n \to \infty} = 1$$ $$3. \quad \vert \lt \vert < 1のとき\lim_{n \to \infty} = 0$$ $$4. \quad r \leq -1のとき、\lbrace r^n \rbraceは振動し、$$ $$\lim_{n \to \infty} r^nは存在しない。$$

$$無限級数\sum_{n = 1 }^{\infty}a_n, \sum_{n = 1}^{\infty}b_nが収束して、$$ $$その和がそれぞれS, Tであるとき$$ $$\sum_{n = 1 }^{\infty}k a_n = kS \quad ただしkは定数$$ $$\sum_{n = 1 }^{\infty}(a_n + b_n)= S + T$$ $$\sum_{n = 1 }^{\infty}(a_n - b_n)= S - T$$

$$\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$ $$とくに$$ $$\left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = - \frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

$$\text{関数}y = f(x) \text{のグラフと、}$$ $$\text{その逆関数} y = f^{-1}(x) \text{のグラフは、}$$ $$\text{直線}y = x \text{に関して対称である。}$$

$$\text{収束}$$ $$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \text{一定値}\alpha\text{に収束}$$ $$\text{発散}$$ $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \quad \text{正の無限大に発散}$$ $$\lim_{n \to \infty} a_n = - \infty \quad \text{負の無限大に発散}$$ 振動

$$関数f(x)が閉区間\lbrack a, b \rbrack において連続で、$$ $$f(a) \neq f(b)ならば、f(a)とf(b)の間の任意の値$$ $$mに対してf(c) = mとなるような実数cがaとb$$ $$の間に少なくとも１つ存在する。$$

$$\lim_{x \to a}f(x) = \alpha, \lim_{x \to a}g(x) = \beta \text{ならば} $$ $$\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha \quad \text{だだし、}k\text{は定数}$$ $$\lim_{x \to a}\{ f(x) + g(x) \} = \alpha + \beta$$ $$\lim_{x \to a} \{ f(x) - g(x) \} = \alpha - \beta$$ $$\lim_{x \to a} \{f(x)g(x) \} = \alpha\beta$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta} \quad \text{ただし、}\beta \neq 0$$

$$\text{数列}\{a_n\}, \{b_n\}\text{が収束して、}$$ $$\lim_{n \to \infty} a_n= \alpha, \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \text{のとき}$$ $$1. \lim_{n \to \infty} ka_n = k\alpha \quad \text{ただし、}k\text{は定数}$$ $$2. \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta, \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \alpha - \beta$$ $$3. \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha\beta$$ $$4. \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}\text{ただし、}\beta \neq 0$$

$$aの近くで不等式f(x) \leq g(x)が成り立ち、$$ $$かつ\lim_{x \to a}f(x) = \alpha, \lim_{x \to a}g(x) = \beta$$ $$ならば、\alpha \leq \beta$$ $$$$ $$aの近くで不等式f(x) \leq g(x)が成り立ち、$$ $$かつ\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = \alpha$$ $$ならば、\lim_{x \to a} = \beta$$

$$関数f(x)が閉区間\lbrack a, b \rbrackにおいて連続で$$ $$あり、f(a)とf(b)が異符号であるとき、$$ $$方程式f(x) = 0はaとbの間に$$ $$少なくともの１つの実数解を持つ。$$

$$y = \frac{k}{x - q} + p \text{のグラフは、}\frac{k}{x} $$ $$\text{のグラフをx軸方向にq、y軸方向にpだけ}$$ 平行移動した直角双曲線である。 $$\text{その漸近線は２直線}x = q, y = p$$である。

$$\text{無理関数} \sqrt{ax + b}\text{のグラフは}$$ $$y = \sqrt{ax} \text{のグラフをx軸方向に}$$ $$- \frac{a}{b}だけ平行移動したものである。$$

$$nが整数のとき \quad (x^n)' = nx^{n-1}$$

$$関数f(x)がx = aにおいて微分可能であり、$$ $$かつx = aにおいて極値をとるならば$$ $$f'(a) = 0$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

$$関数f(x)が連続な第２次導関数をもつとき$$ $$f'(x) = 0, f''(a) > 0ならば \quad f(a)は極小値$$ $$関数f(x)が連続な第２次導関数をもつとき$$ $$f'(x) = 0, f''(a) < 0ならば \quad f(a)は極大値$$

$$(\sin x)' = \cos x$$ $$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$ $$(\cos x)' = - \sin x$$

$$x = f(t), y = g(t)のとき$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$

$$\alpha \neq -1のとき \quad \int x^{\alpha}dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha + 1} + C$$ $$\alpha = -1のとき \quad \int \frac{1}{x} = \log \vert x \vert + C$$

$$\int \sin x \ dx = - \cos x + C$$ $$\int \cos x \ dx = \sin x + C$$ $$\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{\sin^2 x}dx = - \frac{1}{tan x} + C$$

$$x = g(t)とおくとき、a = g(\alpha), b = g(\beta)$$ ならば、 $$\int_{a}^b f(x)dx = \int_{a}^b f(g(t))g'(t)dt$$

$$f(x)が偶関数ならば \quad \int_{-a}^a f(x)dx = 2 \int_{0}^a f(x)dx$$ $$f(x)が奇関数ならば \quad \int_{-a}^a f(x)dx = 0$$

$$V = \pi \int_{a}^b y^2 dx = \pi \int_{a}^b \{f(x)\}^2 dx$$ $$ただし、a < b$$

$$関数f(x), g(x)がx = aの近くで微分可能で、$$ $$f(a) = 0, g(a) = 0であり、$$ $$極限値\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}が存在するならば$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ $$が成り立つ。ただし、x = aの近くでつねに$$ $$g'(x) \neq 0とする。$$

$$関数f(x), g(x)が屏区間[a, b]で連続、開区間(a, b)で$$ $$微分可能ならば$$ $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}, \quad a < c < b$$ $$を満たすcが存在する。ただし、$$ $$開区間(a, b)でg'(x) \neq 0, g(a) \neq g(b)とする。$$

$$曲線x = f(t), y = g(t) (a \leq t \leq b)の長さをsとすると$$ $$s = \int_{a}^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$$ $$= \int_{a}^b \sqrt{\{ f'(t) \}^2 + \{g'(t) \}^2}dt$$

$$一直線上にない３点A, B, Cが定める平面を$$ $$\alphaとする。このとき点Dが平面\alpha上にある$$ $$\iff \overrightarrow{AD} = m \overrightarrow{AB} + n \overrightarrow{AC}$$ $$となる実数m, nがある。$$

$$２点A(\vec{a}), B(\vec{b})を結ぶ線分ABを$$ $$m:nに内分する点Pの位置ベクトル\vec{p}は$$ $$\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$$ $$とくに、線分ABの中点の位置ベクトルは\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$$

$$２点A, Bが異なるとき$$ $$３点A, B, Cが一直線上にある$$ $$\iff \vec{AC} = m \vec{AB}となる実数mがある$$

$$A(a_1, a_2, a_3), B(b_1, b_2, b_3)のとき$$ $$\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)$$ $$\vert \overrightarrow{AB} \vert = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$$

$$母平均m, 母分散\sigma^2の母集団から大きさn$$ $$の無作為標本を復元抽出するとき、その$$ $$標本平均の平均\bar{X}と分散はそれぞれ$$ $$E (\bar{X}) = m, \quad V (\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$$

$$(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$$ $$(a_1, a_2, a_3) - (b_1, b_2, b_3) = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$$ $$m(a_1, a_2, a_3) = (m a_1, m a_2, m a_3) \quad mは実数$$

△ABCの九点円と内接円は内接する。

$$双曲線\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt 0, b \gt 0)については、$$ $$次のようになる。$$ $$焦点F(\sqrt{a^2 + b^2}, 0), F'(- \sqrt{a^2 + b^2}, 0)$$ $$双曲線上の点Pについて \quad \vert PF - PF' \vert = 2a$$

$$２点A(\vec{a}), B(\vec{b})を結ぶ線分ABを$$ $$m:nに内分する点P, m:nに外聞する点Q$$ $$の位置ベクトル\vec{p}, \vec{q}は$$ $$\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}, \quad \vec{q} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$$ $$とくに、線分ABの中点の位置ベクトルは\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$$

$$曲線\begin{cases}x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}をx軸方向にm, y軸方向に$$ $$nだけ平行移動した曲線は\begin{cases}x = f(t) + m \\ y = g(t) + n \end{cases}$$ $$である。$$

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$ $$V(aX + b) = a^2V(X)$$ $$\sigma(aX + b) = \vert a \vert \sigma(X)$$

$$確率変数Xが二項分布B(n, p)に従うとき$$ $$E(X) = np$$ $$V(X) npq \quad ただし、q = 1 - p$$

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$ $$V(aX + b) = a^2V(X)$$ $$\sigma(aX + b) = \vert a \vert \sigma(X)$$

$$確率変数Xが正規分布N(m, \sigma^2)に従うとき$$ $$平均 \quad E(X) = m, \quad 標準偏差 \sigma(X) = \sigma$$

$$母平均m, 母分散\sigma^2の母集団から$$ $$抽出された大きさのn標本平均\bar{X}の分布は$$ $$nが大きければ正規分布N(m, \frac{\sigma^2}{n})としてよい。$$

$$母分散\sigma^2がわかっている母集団から$$ $$大きさnの標本を抽出して、この標本平均\bar{X}$$ $$より母平均mを推定すると、mに対する$$ $$信頼度95\%の信頼区間は$$ $$\bar{X} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \bar{X} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$$「すべてのxについてp(x)」の否定は$$ $$「あるxについて\overline{p(x)}」$$ $$「あるxについてp(x)」の否定は$$ $$「すべてのxについて\overline{p(x)}」$$

$$\overline{p\text{かつ}q} \iff \overline{p}または\overline{q}$$ $$\overline{pまたはq} \iff \overline{p}かつ\overline{q}$$

$$△ABCの３つの頂点から対辺に下ろした垂線の$$ $$端点D, E, Fを通る円Oは、３辺BC, CA, ABの$$ $$中点L, M, Nと線分AH, BH, CHの$$ $$中点P, Q, Rを通る。$$