微分可能な関数\(f(x)\)が逆関数\(f^{-1}(x)\)をもつとき、\(f^{-1}(x)\)の導関数は？
\(y = f^{-1}(x)\)とおけば、逆関数の定義より $$x = f(y)$$ 両辺を\(x\)について微分すると $$1 = \frac{d}{dx}f(y)$$
(yがxの関数で、fもxの関数なら全体がxの関数とみなして合成関数の微分法が使えるので)
右辺を合成関数の微分法で変形すれば $$\frac{d}{dx}f(y) = \frac{d}{dy}f(y) \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$ よって $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$ ただし、\(\frac{dx}{dy} \neq 0\)