\(x\)の増分\(\Delta x\)に対する\(u = g(x)\)の増分を\(\Delta u\)とし\(\cdots\)😵💫長岡先生が言うにはこれなくしては生きていけないくらい便利で強力なものらしい。
プレックスの説明
\(y=f(t)\)が\(t\)の関数として微分可能、\(t=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能なとき、合成関数\(y=f(g(x))\)の導関数は
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$$
\(F(x) = f(g(x))\)とおく。\(y = F(x)\)について、導関数の定義より、
$$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= F'(x) \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{F(x + h) - F(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) -g(x)} \cdot \frac{g(x+h) -g(x)}{h} \\ \end{align}$$
ここで、\(t = g(x)\)とおくと、\(y = f(t)\)
$$\lim_{h \to 0}\frac{g(x + h) - g(x)}{h} = \frac{dt}{dx} = g'(x)$$
また
$$\lim_{h \to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} = \frac{dy}{dt} = f'(t)$$
以上より
$$\frac{dy}{dx} = F'(x) = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
迫田センセの説明
\(x+h = X\)とおくと
$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{X \to x} \frac{f(X) - f(x)}{X - x}$$
これをふまえて
$$\begin{align} \left\{f(g(x))\right\}' &= \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)}\cdot\frac{g(x+h) -g(x)}{h} \\ &= \lim_{g(x+h) \to g(x)}\frac{f(g(x)) - f(g))}{g(x+h) - g(x)}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \\ &= f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align}$$
ChatGPTからのアドバイス
xがちょっと動くと、まずg(x)がどれだけ動くかはg'(x)でわかる。さらに、g(x)が動いたぶんだけfがどれだけ変わるかはf'(g(x))で決まるから、最終的な変化はその2つをかけたものになる
合成関数は、xからg(x), g(x)からfという2つの関数を通って変化しているから、それぞれの変化率を掛けることで、全体の変化率が求まる
関数の変化量 = 傾き×入力の変化って？
近似式としてよく使う考え方で (微分は本質的には一次近似)
$$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$$
つまり
$$関数の変化量 (\fallingdotseq \Delta y) \approx 傾き (微分) \times 入力の変化量 (\Delta x)$$
合成関数\(f(g(x))\)の場合は\( \Delta x \to \Delta g \to \Delta f\)：
最終的に
$$\Delta f \approx f'(g(x)) \cdot g'(x) \cdot \Delta x$$
になって、出力の変化\( \approx \)傾き×入力の変化のパターンが繰り返されている。
参考
The Composite Function Rule (The Chain Rule)
In words: differentiate the ‘outside’ function, and then multiply by the derivative of the ‘inside’ function.
公式覚えるだけならRule 7の説明がわかりやすい。