マセマの初めから始める数学Ⅲ・Cでもお腹いっぱいで消化できなかった区分求積法について、ヨビノリのおかげでやっと消化できた🙇♀
面積を区分して積分を近似する方法が区分求積法。
関数f(x)が区間[0, 1]で連続のとき、y = f(x)のグラフで区間\(0 \leq x \leq 1\)をn等分に分けてn個の長方形をつくる。n個の長方形の面積の和をS_nとすると
$$\begin{align} S_n &= \frac{1}{n}f(\frac{1}{n}) + \frac{1}{n}f(\frac{2}{n}) + \cdots + \frac{1}{n}f(\frac{n}{n}) \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}f(\frac{k}{n}) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) \end{align}$$
ここで上の式の極限をとると、長方形の横幅は限りなく0に近くなり、Voilà🎉
積分区間 \(0 \leq x \leq 1\) の定積分の式が出てくる。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1}f(x)dx$$
参考：
Khan Academy: Riemann approximation introduction
Khan Academy: Definite integral as the limit of a Riemann sum