$$\lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$$が他のやつとごっちゃになって全然頭に入らなかったけど、二項定理で説明されてなんか覚えられそうな気がした。
他のやつって、
$$\lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = e$$
とか
$$\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1$$
とか
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$$
のこと。で展開すると
$$\begin{align} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n &= 1 ^n+ \binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom{n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \binom{n}{n-1} \frac{1}{n^{n-1}} + \binom{n}{n} \frac{1}{n^n} \\ &= 1 + n\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^n} \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n} + \cdots + \frac{n}{n^{n-1}} + \frac{1}{n!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n} \cdots \frac{1}{n} \end{align}$$
ここで、第3項の極限を取ると
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n} = \frac{1}{2!}\lim_{n \to \infty}(1 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{2!}$$
同様にすべての項で極限を取っていくと
$$1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$$
になる（らしい。）すると
$$1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} \lt 1 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots \frac{1}{2^{n-2}} + \frac{1}{n^{n-1}}$$
になって初項1、公比1/2の等比数列になるので
$$1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-2}} + \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1 - (\frac{1}{n}^n)}{1 - \frac{1}{2}} < 2$$
第1項の1まだ足してないので
$$2 < \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right) < 3$$