パスカルの三角形ぜんぶ1で書いて、あれっ？係数どうやって計算するんだっけとなった。
$$ \begin{array}{c} 1\\ 1\quad 1\\ 1\quad 2\quad 1\\ 1\quad 3\quad 3\quad 1\\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\ 1\quad 5 \quad 10\quad 10 \quad 5\quad 1 \end{array} $$
を
$$ \begin{array}{c} 1\\ 1\quad 1\\ 1\quad 1\quad 1 \\ \cdots \end{array} $$
と書いて？？？となる。鹿馬超だな。それで二項定理。
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
または
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^{n-k} b^k$$
つまり
$$\binom{n}{k} = {}_nC_k$$
右辺展開して
$$a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n C_i a^{n-i}b^i + \cdots + {}_n C_n b^n$$