冪集合、power setって？
集合Aのすべての部分集合の集合のこと。なんのこっちゃ？
例
$$A = \lbrace x \in \mathbb{N} \vert x < \lt 3 \rbrace$$
のとき
$$A = \lbrace 1, 2 \rbrace$$
すべての部分集合を列挙すると
$$1. \phi$$ $$2. \lbrace 1 \rbrace$$ $$3. \lbrace 2 \rbrace$$ $$4. \lbrace 1, 2 \rbrace$$
より、集合Aのべき集合は
$$\mathcal{P}(A) = \lbrace \phi, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace \rbrace$$
べき集合の要素数
元の集合の要素数をnとすると$$2^n$$になる。
例題
有限集合Aの要素数nが$$\vert A \vert = n$$のとき、要素数が$$(n - 1)$$の部分集合の個数は？
回答例
集合Aから要素数が$$n - 1$$の部分集合はAから$$(n - 1)$$個の要素の選び方が何通りあるかを数え上げればよいので、二項定理が使える。
$$\dbinom{n}{n - 1} = \frac{n!}{(n -1)!(n - (n - 1))!}$$ $$= \frac{n(n - 1(!}{(n - 1)!1!}$$ $$= n$$