写像ってなんすか？
空集合でない２つの集合AとBがあって、
$$a \in A$$
にBの要素がただひとつに定まる規則$$f(a) \in B$$
をAからBへの写像という。または単なる関数の一般化。
Aをfの定義域、Bを終域、
$$f(A) = \lbrace f(a) \vert a \in A \rbrace \subset B$$
をfの値域という。
単射 (Injective) または1対1写像
$$f(x) = f(y) \implies x = y \implies x \neq \implies f(x) \neq f(y)$$
がすべての\(x, y \in A\)に対して成り立つこと。異なる入力に対して異なる出力。
例
\(f(x) = 2x \quad\)は単射
\(f(x) = 2^x \quad\)は単射ではない
全射 (Surjective)または上への写像
$$すべてのy \in Bに対して、あるx \in Aが存在してf(x) = yとなる。$$
すべてのBの要素が少なくとも１つのAによって特定できる。（値域が定義域のすべてに対応する）
全単射 (Bijective)
単射かつ全射であることを満たすとき、fは全単射
逆写像 (Inverse Mapping)
\(f(x) = y\)となる\(x\)を\(y\)から求める関数のこと。
$$f^{-1}(f(x)) = x$$ $$f^{-1}(f(y)) = y$$
全単射なら逆写像が存在する。
グラフ上で逆写像\(f^{-1}\)は\(y = x\)に対して対称 関数\(f\)の定義域と値域が逆写像\(f^{-1}\)では入れ替わる