行列とその応用

行列の加法の性質

$$A + B = B + A \quad 交換法則$$ $$(A + B) + C = A + (B + C) \quad 結合法則$$ $$A + O = A$$ $$A + (-A) = O$$

行列の実数倍の性質

$$(kl)A = k(lA)$$ $$(k + l)A = kA + lA$$ $$k(A + B) = kA + kB$$

行列の乗法の性質

$$A(kB) = (kA)B = k(AB)$$ $$(AB)C = A(BC)$$ $$A(B + C) = AB + AC$$ $$(A + B)C = AC + BC$$

ケーリー・ハミルトンの定理

$$A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}のとき$$ $$A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O$$

2次正方行列の逆行列

$$A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}に対して、\Delta = ad - bcとおく。$$ $$(1) \Delta \ne 0 ならば、A^{-1} = \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$$ $$(2) \Delta = 0 ならば、Aの逆行列は存在しない。$$

式と曲線

放物線

楕円

双曲線

双曲線の漸近線

図形の平行移動

曲線の平行移動

確率分布

確率の加法定理

$$(1) 任意の事象Aに対して 0\le P(A) \le 1$$ $$(2) 全事象Uと空事象\phiの確率 P(U) = 1, P(\phi) = 0$$ $$(3) A, Bが排反事象のとき P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ $$(4) 事象Aの余事象\overline{A}の確率 P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$ $$(5) A, Bが排反事象でないとき P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

確率の乗法定理

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$$

事象の独立

$$2つの事象AとBについて$$ $$AとBが独立である \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

確率変数の平均

$$E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdot\cdot\cdot + x_np_n$$

aX + b の平均

$$a, bを定数とするとき E(aX + b) = aE(X) + b$$ $$$$ $$E(aX + b) = \sum_{i=1}^n(ax_i + b)p_i = \sum_{i=1}^n(ax_ip_i + bp_i)$$ $$= a\sum_{i=1}^n x_ip_i + b\sum_{i=1}^n p_i= aE(X) + b \cdot 1 = aE(X) + b$$

確率変数の分散

$$V(X) = E((X - m)^2)$$ $$$$ $$V(X) = \sum_{i=1}^n(x_i - m)^2 p_i$$

分散の計算

$$V(X) = E(X^2) - m^2$$ $$$$ $$V(X) = \sum_{i=1}^n(x_i - m)^2 p_i = \sum_{i=1}^n(x_i^2 - 2mx_i + m^2)p_i$$ $$= \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - 2m \sum_{i=1}^n x_i p_i + m^2 \sum_{i=1}^n p_i$$ $$ここで \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i = E(X^2), \sum_{i=1}^n x_i p_i = E(X) = m, \sum_{i=1}^n p_i = 1$$ $$であるから V(X) = E(X^2) - 2m \cdot m + m^2 \cdot 1 = E(X^2) - m^2$$

aX + b の平均分散・標準偏差

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$ $$V(aX + b) = a^2V(X)$$ $$\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$$

確率変数の和の平均

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

独立な確率変数の積の平均

$$独立な確率変数X, Yに対して E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$$

独立な確率変数の和の分散

$$独立な確率変数X, Yに対して V(X + Y) = V(X) + V(Y)$$ $$$$ $$V(X + Y) = E((X + Y)^2) - E(X + Y)^2$$ $$= E(X^2 + 2XY + Y^2) - (E(X) + E(Y))^2$$ $$= \{E(X^2) + 2E(XY) + E(Y)^2\} - \{E(X)^2 + 2E(X) \cdot E(Y) + E(Y)^2\}$$ $$ここで、X, Yは独立であるから$$ $$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$$ $$となる。したがって$$ $$V(X + Y) = \{E(X^2) - E(X)^2\} + \{E(Y^2) - E(Y)^2\}$$ $$= V(X) + V(Y)$$

二項分布の平均と分散

統計処理

二項分布 B(n, p)

二項分布の平均と分散

aX + b の平均分散・標準偏差

標本平均の平均と分散

標本平均の分布

信頼度95%の信頼区間

巻末