数列

等差数列の一般項

$$\text{初項a, 公差dの等差数列}a_n\text{の一般項は}$$ $$a_n = a + (n - 1)d$$

等差数列の和

$$\text{初項}a\text{, 公差}d\text{, 項数}n\text{, 末項}l\text{の等差数列の和を}S_n\text{とすると}$$ $$S_n = \frac{1}{2}n(a + l) = \frac{1}{2}n\{2a + (n - 1)d)\}$$

等比数列の一般項

$$\text{初項}a\text{, 公比}r\text{の等比数列}\{a_n\}\text{の一般項は}$$ $$a_n = ar^{n-1}$$

等比数列の和

$$\text{初項}a\text{, 公比}r\text{の等比数列の初項から第}n\text{項までの和}S_n\text{は}$$ $$r \ne 1 \text{のとき} \quad S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$ $$r = 1 \text{のとき} \quad S_n = na$$

記号Σの性質

$$\sum_{k=1}^n(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=n}^n b_k$$ $$\sum_{k=1}^n ca_k = c \sum_{k=1}^n a_k$$

累乗の和

$$\sum_{k=1}^2 c = nc \quad \text{cは定数}$$ $$\sum_{k=1}^2 k = \frac{1}{1}n(n + 1)$$ $$\sum_{k=1}^2 k^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$$ $$\sum_{k=1}^2 k^3 = \{\frac{1}{2}n(n + 1)\}^2$$

階差数列を用いて一般項を表す式

$$\text{数列}\{a_n\}\text{の階差数列を}\{b_n\}\text{とすると, }n \geq 2\text{のとき}$$ $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

数列の和と一般項

$$\text{数列}\{a_n\}\text{の初項から第}\{b_n\}\text{項の和を}S_n\text{とすると}$$ $$a_1 = S_1$$ $$a_n = S_n - S_{n-1}$$

等差数列型の漸化式

$$a_1 = a, \ a_{n+1} = a_n + d \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$\text{一般項}\ a_n = a + (n - 1)d \quad (n = 1, 2, 3, ...)$$

等比数列型の漸化式

$$a_1 = a, \ a_{n+1} = r \cdot a_n \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$\text{一般項}\ a_n = a \cdot r^{n-1} \quad (n = 1, 2, 3, ...)$$

階差数列型の漸化式

$$a_1 = a, \ a_{n+1} - a_n = b_n \quad (n = 1, 2, 3, ...)\ \text{のとき}$$ $$n \ge 2\ \text{で,}\ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n - 1}b_k$$

等比関数数列型?の漸化式

$$F(n+1) = r \cdot F(n)\ \text{ならば}$$ $$F(n+1) = F(1) \cdot r^{n-1} \ \text{と変形できる。}$$ $$(n = 1, 2, 3, ...)$$

数学的帰納法

$$\text{自然数nに関する命題が、すべての自然数nに対して}$$ $$\text{成り立つことを証明するには、次の2つのことを証明すればよい。}$$ $$[1] n = 1のとき成り立つ。$$ $$[2] n = 1のとき成り立つと仮定すれば、$$ $$n = k+1のときにも成り立つ。$$

ベクトル

ベクトルの加法

$$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \quad\text{交換法則}$$ $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \quad\text{結合法則}$$ $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$ $$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$$

ベクトルの実数倍

$$m(n\vec{a}) = (mn)\vec{a}$$ $$(m+n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a}$$ $$m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b}$$

ベクトルの平行

$$\vec{a} \ne 0, \vec{b} \ne 0 \ \text{のとき}$$ $$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{b} = m\vec{a}\text{となる実数}m\text{がある}$$

ベクトルの表示

$$\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} \quad \text{基本ベクトルの表示}$$ $$\vec{a} = (a_1, a_2) \quad \text{成分表示}$$

ベクトルの大きさ

$$\vec{a} = (a_1, a_2) \ \text{のとき} \quad |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$

成分による演算

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2)= (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ $$(a_1, a_2) - (b_1, b_2)= (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$$ $$m(a_1, a_2) = (ma_1, ma_2) \quad m\text{は実数}$$

座標と成分表示

$$A(a_1, a_2), B(b_1, b_2) \ \text{のとき}$$ $$\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)$$ $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$$

内積の定義

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$

ベクトルの垂直と内積

$$\vec{a} \ne 0, \vec{b} \ne 0 \ \text{のとき}$$ $$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$$

内積の性質 [1]

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2, \quad |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$$

内積の成分表示

$$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \ \text{のとき}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$$

内積の成分計算の式を導く

$$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \ \text{とおき、このベクトルのなす角を}\theta \ \text{とすると}$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = OA \cdot OB \cos\theta$$ $$\text{余弦定理より}$$ $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cos\theta$$ $$OA \cdot OB \cos\theta = \frac{1}{2}(OA^2 + OB^2 - AB^2)$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}(OA^2 + OB^2 - AB^2)$$ $$= \frac{1}{2}[\,(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2\} ]\,$$ $$= a_1b_1 + a_2b_2$$

ベクトルのなす角

$$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$$

内積の性質 [2]

$$(t\vec{a})\cdot\vec{b} = t(\vec{a}\cdot\vec{b}) = \vec{a}\cdot(t\vec{b}) \quad t\text{は実数}$$ $$\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$$ $$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$$

内分点の位置ベクトル

$$\text{2点}A(\vec{a}), B(\vec{b})\text{を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル}\vec{p}\text{は}$$ $$\vec{p} = \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$ $$\text{とくに, 線分ABの中点の位置ベクトルは}\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$$

三角形の重心の位置ベクトル

$$\text{三角形の頂点A,B,Cの位置ベクトル}\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\text{の重心Gの位置ベクトル}\vec{g}\text{は}$$ $$\text{辺BCの中点を}M(\vec{m})\text{とすると}$$ $$\vec{m} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$$ $$\text{点Gは線分AMを2:1に内分するから}\vec{g} = \frac{\vec{a}+2m}{2+1}$$ $$\text{したがって}$$ $$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$

3点が一直線上にあるための条件

$$\text{2点A, Bが異なるとき}$$ $$\text{3点A, B, Cが一直線上にある}$$ $$\iff \overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{AB}\text{となる実数mがある}$$

$$\text{点} \ P_0(\vec{p_0}) \ \text{を通り} \ \vec{u} \ \text{に平行な直線}$$

$$\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{u}$$

$$\text{2点} \ A(\vec{a}), B(\vec{b}) \ \text{を通る直線}$$

$$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$$ $$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}, \quad s + t = 1$$

4点が同一平面上にあるための条件

統計とコンピュータ

数値計算とコンピュータ

巻末