集合と場合の数

ド・モルガンの法則

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

和集合・補集合の要素の個数

$$\text{(1)} \quad n(A \cup B) = n(A)+n(B) - n(A \cap B)$$ $$\text{とくに、}A \cap B = \phi\text{のとき}n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$ $$\text{(2)} \quad n(\overline{A}) = n(U)-n(A)$$

3つの集合の性質(1)

$$\text{(1)} \quad A \cup (A \cap B) = (A \cup B) \cap (A \cup B)$$ $$\text{(2)} \quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap B)$$

3つの集合の性質(2)

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C)$$ $$\quad \quad \quad - n(A \cap B) - n(B \cap C) - (C \cap A) + n(A \cap B \cap C) \cdot \cdot \cdot \text{1}$$ $$n(A \cup (B \cup C)) = n(A) + n(B \cup C) - n(A \cap (B \cup C)) \cdot \cdot \cdot \text{2}$$ $$\text{ここで分配法則} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cap (A \cap C) \text{により}$$ $$n(A \cap (B \cup C)) = n((A \cap B) \cup (A \cap C))$$ $$\quad \quad = n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C) \cdot \cdot \cdot \text{3}$$ $$\text{また} \quad n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C) \cdot \cdot \cdot \text{4}$$

和の法則

$$\text{2つの事柄} A,B \text{について、これらは同時には起こらないとする。}$$ $$A \text{の起こり方が} m \text{通り、} B \text{の起こり方が} n \text{通りあるとき、}$$ $$A \text{または} B \text{の起こる場合の数は} m+n \text{通りである。}$$

積の法則

$$\text{2つの事柄} A,B \text{について、} A \text{の起こり方が} m \text{通りあり、}$$ $$\text{そのおのおのに対して} B \text{の起こり方が} n \text{通りあるとき、}$$ $$A,B\text{がともに起こる場合の数は} m \times n \text{通りである。}$$

順列

$${}_n P_r = n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-r+1)$$ $${}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$

円順列

$$n\text{個のものの円順列の総数は} \quad (n-1)!$$

重複順列

$$n \text{個のものから} r \text{個とった重複順列の総数は} \quad n^r$$

組合わせ

$${}_n C_r = \frac{nPr}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot (n-r+1)}{r(r-1)(r-2) \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$ $$\quad \quad = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ $$\quad \quad = {}_n C_{n-r}$$

同じものを含む順列

$${}_n C_p \times {}_{n-p} C_q \times {}_{n-p-q} C_r = \frac{n!}{p!q!r!}$$ $$\text{ただし、} p + q + r = n$$

二項定理

$$(a+b)^n = {}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2 + \cdot \cdot \cdot$$ $$+ {}_n C_r a^{n-r}b^r + \cdot \cdot \cdot + {}_n C_{n-1}ab^{n-1} + {}_n C_n b^n$$

確率

事象の確率

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{a}{N} = \frac{\text{事象}A\text{の起こる場合の数}}{\text{起こり得るすべての場合の数}}$$

確率の基本性質

$$\text{(1)} \quad \text{任意の事象} A \text{に対して} \quad 0 \le P(A) \le 1$$ $$\text{(2)} \quad \text{全事象} U \text{の確率} \quad \quad \quad P(U) = 1$$ $$\text{(3)} \quad \text{空事象} \phiの\text{確率} \quad \quad \quad P(\phi) = 0$$ $$\text{(4)} \quad A, B\text{が排反事象のとき} \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

和事象の確率

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(C)$$

余事象の確率

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

独立な試行の確率

$$\text{2つの試行} T_1, T_2 \text{が独立であるとき、} T_1 \text{で事象} A \text{が起こり、}$$ $$T_2 \text{で事象} B \text{が起こる確率は}$$ $$P(A) \times P(B)$$

反復試行の確率

$$\text{ある試行において、事象} A \text{が起こる確率を} p \text{、その余事象の確率を}$$ $$q = 1 - p \text{とする。この試行を} n \text{回繰り返す反復試行において、事象}$$ $$A \text{がちょうど} r \text{回起こる確率は}$$ $${}_n C_r p^r q^{n-r} \quad r = (0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$$ $$\text{である。ただし、} p^0 = 1, q^0 = 1 \text{とする。}$$

論証

ド・モルガンの法則

$$\overline{pかつq} \iff \overline{p}または\overline{q}$$ $$\overline{pまたはq} \iff \overline{p}かつ\overline{q}$$

命題と対偶

$$\text{命題}p \implies q \text{と、その対偶} \overline{q} \implies \overline{p} \text{とは、真偽が一致する。}$$

平面図形

三角形と比

$$\triangle \text{ABCの辺AB,AC上に、それぞれ点D,Eがあるとき}$$ $$DE \parallel BC \text{ならば}$$ $$AD:AB = AE:AC = DE:BC$$ $$AD:DB = AE:EC$$ $$AD:AB = AE:AC \text{ならば} DE \parallel BC$$ $$AD:DB = AE:EC \text{ならば} DE \parallel BC$$

中点連結定理

$$\triangle \text{ABCの辺AB,ACの中点をそれぞれM,Nとするとき}$$ $$MN \parallel BC, MN = \frac{1}{2}BC$$

内角の二等分線と比

$$\triangle \text{ABCの} \angle \text{Aの二等分線と対辺BCとの交点をPとすると、}$$ $$\text{PはBCを}AB:AC \text{に内分する。すなわち}$$ $$BP:PC = AB:AC$$

外角の二等分線と比

$$\triangle \text{ABCの頂点Aにおける外角の二等分線と対辺BCの}$$ $$\text{延長との交点をQとすると、QはBCをAB:ACに外分する。すなわち}$$ $$BQ:QC=AB:AC$$

角の二等分線と比の定理の逆

$$\triangle \text{ABCにおいて、辺BCをAB:ACに内分および外分する点をそれぞれ}$$ $${P,Qとすると}$$ $$\text{(1) APは頂点Aにおける内角を2等分する。}$$ $$\text{(1) AQは頂点Aにおける外角を2等分する。}$$

三角形の重心

$$\text{三角形の3本の中線は1点で交わる。}$$ $$\text{その交点は、それぞれの中線を2:1に内分する。}$$

三角形の外心

$$\text{三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。}$$

三角形の垂心

$$\text{三角形の各頂点から対辺、またはその延長に下ろした}$$ $${3本の垂線は1点で交わる。}$$

三角形の内心

$$\text{3角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。}$$

チェバの定理

$$\triangle \text{ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり、}$$ $$\text{3直線AP,BQ,CRが1点で交われば}$$ $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$

チェバの定理の逆

$$\triangle \text{ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり、}$$ $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$ $$\text{が成り立てば、3直線AP,BQ,CRは1点で交わる。}$$

メネラウスの定理

$$\text{ある直線が} \triangle \text{ABCの辺BC,CA,AB、またはその延長と}$$ $$\text{それぞれ点P,Q,Rで交われば}$$ $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$

辺と角の大小関係(1)

$$\text{三角形において、長い辺に対する角は、短い辺に対する角より大きい。}$$

辺と角の大小関係(2)

$$\text{三角形において、大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より長い。}$$

三角形の3辺の長さの関係

$$\text{三角形において}$$ $$\text{(1) 2辺の長さの和は、他の1辺の長さより大きい。}$$ $$\text{(2) 2辺の長さの差は、他の1辺の長さより小さい。}$$

円の基本性質

$$\text{(1) 1つの円で、等しい中心角に対する弧は等しい。}$$ $$\text{その逆も成り立つ。}$$ $$\text{(2) 1つの円で、等しい弧に対する弦は等しい。}$$ $$\text{(3) 円の中心から弦に引いた垂線は、その弦を2等分する。}$$ $$\text{(4) 弦の垂直二等分線は、円の中心を通る。}$$

円周角の定理

$$\text{1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。}$$ $$\text{1つの円で、等しい円周角に対する弧は等しい。}$$ $$\text{1つの円で、等しい弧に対する円周角は等しい。}$$

直径と円周角

$$\text{線分ABを直径とする円周上にA,Bとはことなる点Pをとると}$$ $$\angle ABP = 90^\circ$$

円周角の定理の逆

$$\text{4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABに対して同じ側にあって}$$ $$\angle APB = \angle AQB$$ $$\text{ならば、この4点は同一円周上にある。}$$

直径と円周角の定理の逆

$$\text{2点A,Bに対して、} \angle APB = 90^\circ \text{となる点Pは、}$$ $$\text{ABを直径とする円周上にある。}$$

円に内接する四角形

$$\text{円に内接する4角形では}$$ $$\text{(1) 対角の和は} 180^\circ \text{である。}$$ $$\text{(2) 対角は、それと隣り合う内角の対角に等しい。}$$

四角形が円に内接する条件

$$\text{次の(1),(2)のいずれかが成り立つ四角形は円に内接する。}$$ $$\text{(1) 1組の対角の和が} 180^\circ \text{である。}$$ $$\text{(2) 1つの外角が、それと隣り合う内角の対角に等しい。} $$

接線の長さ

$$\text{円の外部の1点からその円に引いた2本の接線において、}$$ $$その点から2つの接点までの距離は等しい。$$

接線と弦のつくる角

$$\text{円の接線とその接点を通る弦のつくる角は、}$$ $$\text{その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。}$$

方べきの定理(1)

$$\text{点Pを通る2直線が円Oとそれぞれ2点A,Bと2点C,Dで交わるとき}$$ $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

方べきの定理(2)

$$\text{点Pを通る2直線の一方が円Oと2点ABで交わり、}$$ $$\text{もう一方が点Tで接するとき}$$ $$PT^2 = PA \cdot PB$$

方べきの定理(1)の逆

$$\text{2つの線分AB,CDまたはその延長の交点をPとするとき}$$ $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$ $$\text{ならば、4点A,B,C,Dは同一円周上にある。}$$

巻末

ド・モルガンの法則

$$\text{}$$

フォイエルバッハの定理

$$\text{}$$

九点円

$$\text{}$$