# 数と式

$$m, n \ \text{が整数のとき}$$ $$a^0 = 1, \quad a^1 = a, \quad a^m \times a^n = a^{m+n}$$

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ $$(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$$ $$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^2 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$$ $$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$$
２次式の因数分解
$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$ $$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$ $$acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$$ 
３次式の因数分解
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$a \ge 0 \ \text{のとき} \quad |a| = a$$ $$a \lt 0 \ \text{のとき} \quad |a| = -a$$

$$a, b \ \text{を実数とすると}$$ $$|a| \ge 0, |a| = 0 \ \text{となるのは} a = 0 \text{のときにかぎる。}$$ $$|-a| = |a|$$ $$|a|^2 = a^2$$ $$|ab| = |a||b|$$ $$|\frac{a}{b}| = |\frac{a}{b}| \quad \text{ただし,} \ b \ne 0$$

$$a > 0, b > 0 \ \text{のとき}$$ $$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$$ $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
２重根号
$$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ $$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \quad \text{ただし,} \ a > b \ \text{とする。}$$

# 方程式と不等式

$$a < b \implies a + c < b + c, \quad a -c < b -c$$ $$a < b, c > 0 \implies ac < bc, \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$ $$a < b, c < 0 \implies ac > bc, \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$ $$\implies \ \text{は "ならば" の意味}$$

$$|x| = a \iff x = \pm a$$ $$|x| < a \iff -a < x < a$$ $$|x| > a \iff x < -a \ \text{または} \ a < x$$
２次方程式の解の公式
$$\text{２次方程式} \ ax^2 + bx + c = 0 \ \text{の解は}$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$$
２次方程式の実数解の個数
$$D > 0 \iff \text{異なる２つの実数解をもつ}$$ $$D = 0 \iff \text{１つの実数解（重解）をもつ}$$ $$D < 0 \iff \text{実数解をもたない}$$

# ２次関数

y = a(x-p)^2 + qのグラフ
２次関数のグラフとx軸の共有点
２次不等式の解（D > 0 のとき）

90° - A の三角比
180° - θ の三角比

ヘロンの公式
ブラマグプタの公式